Teorema de Artin-Wedderburn

El teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo semisimple A es isomorfo a un producto de ${\displaystyle k\;}$ anillos de matrices de orden ${\displaystyle n_{i}\;}$ sobre anillos de división ${\displaystyle C_{i}\;}$ donde ${\displaystyle k\;}$, ${\displaystyle n_{i}\;}$ y ${\displaystyle C_{i}\;}$ están determinados de forma única salvo el orden ${\displaystyle (i=1,2,\dots ,k)\;}$. Como consecuencia se obtiene que cualquier anillo simple y artiniano por la izquierda (o por la derecha) es isomorfo a un anillo de matrices de orden n sobre un anillo de división.

El teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar anillos simples sobre un anillo de división a clasificar anillos de división que contienen un anillo de división dado. Y esto todavía puede simplificarse más: el centro de un anillo de división será un cuerpo K. Por lo tanto, A es una K-álgebra que tiene a K como centro. Así, un álgebra simple de dimensión finita es un álgebra simple central sobre K. Consecuentemente, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar las álgebras simples centrales de dimensión-finita al problema de clasificar anillos de división con un centro dado de antemano.

Ejemplos

Sea ${\displaystyle \mathbb {R} }$ el cuerpo de los números reales, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ el de los números complejos, y ${\displaystyle \mathbb {H} }$ el anillo de división de los cuaterniones.

• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es un anillo de matrices sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ o ${\displaystyle \mathbb {H} }$.
• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es un anillo de matrices sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y por tanto, cada álgebra central simple sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es un anillo de matrices sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Toda álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo finito es un anillo de matrices sobre ese cuerpo.

Véase también

• Teorema de Maschke